두 구간 교집합 확률

모든 순서쌍 $( a _{1} , a _{2} , b _{1} , b _{2} )$의 개수는 ${}_{6{\mathrm{C}}_{2}} \times _{6} {\mathrm{C}} _{2} = 15 \times 15$ 이때 $A \cap B = \phi$이기 위한 필요충분조건은 $a _{2} < b _{1}$ 또는 $b _{2} < a _{1}$ 이다. 따라서 $A \cap B = \phi$을 만족시키는 순서쌍 $( a _{1} , a _{2} , b _{1} , b _{2} )$의 개수는 다음과 같다. (ⅰ) $a _{2} < b _{1}$일 때 $a _{2} = 2$일 때 ${}_{1{\mathrm{C}}_{1}} \times _{4{\mathrm{C}}_{2}} = 1 \times 6 = 6$ $a _{2} = 3$일 때 ${}_{2{\mathrm{C}}_{1}} \times _{3{\mathrm{C}}_{2}} = 2 \times 3 = 6$ $a _{2} = 4$일 때 ${}_{3{\mathrm{C}}_{1}} \times _{2{\mathrm{C}}_{2}} = 3 \times 1 = 3$ 따라서 $6 + 6 + 3 = 15$ (ⅱ) $b _{2} < a _{1}$일 때 (ⅰ)과 마찬가지이므로 이 경우의 수도 $15$이다. 이상에서 $A \cap B = \phi$일 확률은 $\displaystyle \frac{15 + 15}{15 \times 15} = \frac{2}{15}$ 이므로 여사건의 확률에 의해 $A \cap B \neq \phi$일 확률은 $\displaystyle 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$ [다른 풀이] 모든 순서쌍 $( a _{1} , a _{2} , b _{1} , b _{2} )$의 개수는 ${}_{6{\mathrm{C}}_{2}} \times _{6} {\mathrm{C}} _{2} = 15 \times 15$ 이때 $A \cap B = \phi$이기 위한 필요충분조건은 $a _{2} < b _{1}$ 또는 $b _{2} < a _{1}$이다. 따라서 $A \cap B = \phi$을 만족시키려면 $6$장의 카드 중에서 서로 다른 $4$장의 카드를 뽑고, 그 카드에 적힌 $4$개의 수를 크기순으로 작은 수부터 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$라 할 때, $a _{1} = x _{1}$, $a _{2} = x _{2}$, $b _{1} = x _{3}$, $b _{2} = x _{4}$ 또는 $b _{1} = x _{1}$, $b _{2} = x _{2}$, $a _{1} = x _{3}$, $a _{2} = x _{4}$ 로 정하면 된다. 따라서 $A \cap B = \phi$을 만족시키는 순서쌍 $( a _{1} , a _{2} , b _{1} , b _{2} )$의 개수는 $6$장의 카드 중에서 서로 다른 $4$장의 카드를 택하는 경우의 수의 $2$배와 같으므로 $2 \times _{6{\mathrm{C}}_{4}} = 2 \times 15$ 따라서 $A \cap B = \phi$일 확률은 $\displaystyle \frac{2 \times 15}{15 \times 15} = \frac{2}{15}$ 이므로 여사건의 확률에 의해 $A \cap B \neq \phi$일 확률은 $\displaystyle 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$