두 곡선의 공통접선

$y' _{x = 2} = 2 x$ ${} _{x = - 2} = - 4$ 이므로 접선의 방정식은 $y = - 4 \left( x + 2 \right) + 4$ ∴ $y = - 4 x - 4$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \text{㉠}$ 직선 ㉠과 삼차함수 $y = x ^{2} + ax - 2$의 교점의 $x$좌표를 $t$라 하고 하면 $t ^{3} + at - 2 = - 4 t - 4$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \text{㉡}$ $3 t ^{2} + a = - 4$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \text{㉢}$ 을 만족해야 한다. ㉡과 ㉢을 연립하면 $t ^{3} + \left( - 3 t ^{2} \right) t + 2 = 0$ (∵ $a + 4 = - 3 t ^{2}$) ∴ $t ^{3} = 1$ ∴ $t = 1$ ∴ $a = - 3 - 4 = - 7$