두 곡선의 공통 접선

[출제의도] 다항함수의 도함수와 접선의 방정식을 구할 수 있는가? 점 $\left( 0 , 0 \right)$이 삼차함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프 위의 점이므로 $f \left( 0 \right)$$= 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이때, 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서의 접선의 방정식은 $y$$= f' \left( 0 \right) \left( x - 0 \right) + 0$ $y$$= f' \left( 0 \right) x$ $\cdots \cdots$ ㉡ 또, 곡선 $y$$= x f \left( x \right)$ 위에 점 $\left( 1 , 2 \right)$가 있으므로 $1 \times f \left( 1 \right)$$= 2$ $f \left( 1 \right)$$= 2$ $\cdots \cdots$ ㉢ $y$$= x f \left( x \right)$에서 $y'$$= f \left( x \right) + xf' \left( x \right)$이므로 $\left( 1 , 2 \right)$에서의 접선의 방정식은 $y$$= \left\{ f \left( 1 \right) + f' \left( 1 \right) \right\} \left( x - 1 \right) + 2$ $= \left\{ f' \left( 1 \right) + 2 \right\} \left( x - 1 \right) + 2$ $= \left\{ f' \left( 1 \right) + 2 \right\} x - f' \left( 1 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉣ 이때, $f \left( x \right)$$= ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$라 하면 ㉠에서 $d$$= 0$ 이때, $f \left( x \right)$$= ax ^{3} + bx ^{2} + cx$이므로 ㉢에서 $a + b + c$$= 2$ $\cdots \cdots$ ㉤ ㉡과 ㉣에서 두 접선이 일치해야 하므로 $f' \left( 0 \right)$$= f' \left( 1 \right) + 2$, $f' \left( 1 \right)$$= 0$ 따라서 $f' \left( 0 \right)$$= 2$, $f' \left( 1 \right)$$= 0$ 이때, $f' \left( x \right)$$= 3 ax ^{2} + 2 bx + c$이므로 $f' \left( 0 \right)$$= 2$에서 $c$$= 2$ 이때, $f' \left( x \right)$$= 3 ax ^{2} + 2 bx + 2$이므로 $f' \left( 1 \right)$$= 0$에서 $3 a + 2 b + 2$$= 0$ ㉤에서 $c$$= 2$를 대입하면 $a + b$$= 0$이므로 $b$$= \mathit{-} a$를 위 식에 대입하여 $a$, $b$을 구하면 $a$$= \mathit{-} 2$, $b = 2$이므로 $f \left( x \right)$$= \mathit{-} 2 x ^{3} + 2 x ^{2} + 2 x$, $f' \left( x \right)$$= \mathit{-} 6 x ^{2} + 4 x + 2$ 따라서 $f' \left( 2 \right)$$= \mathit{-} 14$