미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 근 비의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2−10nx+n2+1=0x ^{2} - 10 nx + n ^{2} + 1 = 0 의 두 근을 αn\alpha _{n}, βn\beta _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞(βnαn+αnβn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{\beta _{n}}{\alpha _{n}} + \frac{\alpha _{n}}{\beta _{n}} \right)의 값을 구하시오. [3점]

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98

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 αn+βn=10n\alpha _{n} + \beta _{n} = 10 n, αnβn=n2+1\alpha _{n} \beta _{n} = n ^{2} + 1 lim⁡n→∞(βnαn+αnβn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{\beta _{n}}{\alpha _{n}} + \frac{\alpha _{n}}{\beta _{n}} \right)}=lim⁡n→∞(αn2+βn2αnβn)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{\alpha _{n} ^{2} + \beta _{n} ^{2}}{\alpha _{n} \beta _{n}} \right)} =lim⁡n→∞{(αn+βn)2−2αnβnαnβn}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{\left( \alpha _{n} ^{} + \beta _{n} \right) ^{2} - 2 \alpha _{n} \beta _{n}}{\alpha _{n} \beta _{n}} \right\}}=lim⁡n→∞98n2−2n2+1=98\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{98 n ^{2} - 2}{n ^{2} + 1} = 98}

태그

#수열의 극한#근과 계수의 관계

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