두 가수의 합 조건

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $x$가 세 자리의 자연수이므로 $\log x = 2 + \beta ( 0 \leq \beta < 1 )$라고 하자. $\displaystyle \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x = 1 + \frac{\beta}{2}$에서 $\displaystyle 0 \leq \frac{\beta}{2} < \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \log \sqrt{x}$의 가수는 $\displaystyle \frac{\beta}{2}$이다. $\displaystyle \log \sqrt[3]{x ^{2}} = \frac{2}{3} \log x$$\displaystyle = \frac{4}{3} + \frac{2 \beta}{3}$$\displaystyle = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2 \beta}{3}$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{3} \leq \frac{1 + 2 \beta}{3} < 1$이므로 $\displaystyle \log \sqrt[3]{x ^{2}}$의 가수는 $\displaystyle \frac{1 + 2 \beta}{3}$이다. $\displaystyle \log \sqrt{x}$와 $\displaystyle \log \sqrt[3]{x ^{2}}$의 가수의 합이 $1$이면 $\displaystyle \frac{\beta}{2} + \frac{1 + 2 \beta}{3} = 1$ $\displaystyle \therefore \beta = \frac{4}{7}$ $\displaystyle \log x ^{2} = 2 \log x = 4 + \frac{8}{7}$$\displaystyle = 5 + \frac{1}{7}$이므로 $\log x ^{2}$의 지표는 $5$이고, 가수는 $\displaystyle \frac{1}{7}$이다. 따라서, $\displaystyle n = 5 , \alpha = \frac{1}{7}$이므로 $\displaystyle n \alpha = \frac{5}{7}$이다.