확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 값 이산확률변수

문제

이산확률변수 $X$ 에 대하여 $\mathrm{P} ( X = 2 ) = 1 - \mathrm{P} ( X = 0 )$ , $0 < \mathrm{P} ( X = 0 ) < 1$ , $\{ \mathrm{E} ( X ) \} ^{2} = 2 \mathrm{V} ( X )$ 일 때, 확률 $\mathrm{P} ( X = 2 )$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{6}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{6}$

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④

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해설

$\mathrm{P} ( \mathit{X} = 0 ) + \mathrm{P} ( \mathit{X} = 2 ) = 1$ 이므로 확률변수 $X$ 의 확률분포표는 다음과 같다.

$X$	$0$	$2$	계
$\mathrm{P} ( \mathit{X} )$	$a$	$b$	$1$

$E ( X ) = 2 b$ 이고 $E ( X ^{2} ) = 2 ^{2} b = 4 b$ 이므로 $V ( X ) = E ( X ^{2} ) - \left\{ E ( X ) \right\} ^{2}$ $= 4 b - 4 b ^{2}$ 따라서 $\left\{ E ( X ) \right\} ^{2} = 2 V ( X )$ 에서 $4 b ^{2} = 2 \times ( 4 b - 4 b ^{2} )$ , $b = 2 - 2 b$ $\therefore$ $\displaystyle P ( X = 2 ) = b = \frac{2}{3}$

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