공통수학2도형의 이동수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 도로 경유 최단 경로

문제

그림과 같이 동서로 뻗어 있는 직선도로 $l$ 과 남서쪽에서 북동쪽으로 뻗어 있는 직선도로 $m$ 이 이루는 각은 $45 ^\circ$ 이다. 두 직선도로 $l$ 과 $m$ 이 만나는 지점 $\mathrm{O}$ 로부터 동쪽으로 $3 \mathrm{km}$ 떨어진 지점에서 북쪽으로 $1 \mathrm{km}$ 떨어진 지점에 정류소 $A$ 가 있다. 정류소 $A$ 를 출발해서 직선도로 $l$ 위의 한 지점과 직선도로 $m$ 위의 한 지점을 차례로 경유하여 정류소 $A$ 로 돌아오는 도로를 만들려고 한다. 만들려고 하는 도로의 길이가 최소가 되도록 직선도로 $l$ 위의 한 지점에 정류소 $B$ , 직선도로 $m$ 위의 한 지점에 정류소 $C$ 를 만들 때, 두 정류소 $B$ 와 $C$ 사이의 거리( $\mathrm{km}$ )는? (단, 도로의 폭은 무시하며 모든 지점과 도로는 동일평면 위에 있다.) [4점]

$3 \mathrm{km}$ $1 \mathrm{km}$ $45 ^\circ$ 남 북 동 서

① $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$ ② $\displaystyle \frac{7 \sqrt{5}}{12}$ ③ $\displaystyle \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{6}$

정답 보기

⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 대칭이동의 의미를 알고 문제해결하기

$\mathrm{A} ( 3 , 1 )$ $\mathrm{P} ( 3 , - 1 )$ $\mathrm{Q} ( 1 , 3 )$

지점 $\mathrm{O}$ 를 좌표평면 위의 원점, 직선도로 $l$ 을 $x$ 축으로 정하면 직선도로 $m$ 은 직선 $y = x$ , 정류소 $A$ 의 좌표는 $\mathrm{A} ( 3 , 1 )$ 이다. 점 $\mathrm{A}$ 를 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}$ 라 하면 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $( 3 , - 1 )$ 이고 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하면 $\mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\mathrm{(} 1 , 3 )$ 이다. 만들려고 하는 도로의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$ 일 때, 최소이다. 두 점 $\mathrm{P} ( 3 , - 1 )$ , $\mathrm{Q} ( 1 , 3 )$ 을 지나는 직선의 방정식은 $y - 3 = - 2 ( x - 1 )$ $\therefore$ $y = - 2 x + 5$ $x$ 축과 직선 $y = - 2 x + 5$ 의 교점은 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$ $y = x$ 와 직선 $y = - 2 x + 5$ 의 교점은 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{3} , \frac{5}{3} \right)$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{\left( \frac{5}{3} - \frac{5}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{5}{3} - 0 \right) ^{2}} = \frac{5 \sqrt{5}}{6}$ $\left( \mathrm{km} \right)$

← 전체 문제 목록으로

두 도로 경유 최단 경로

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기