미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 등비급수 제곱의 합

문제

첫째항이 11인 두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 다음 조건을 만족시킬 때, ∑n=1∞(an2+bn2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} ^{2} + b _{n} ^{2} \right)의 값은? [4점]

(가) ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}, ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}이 각각 수렴한다. (나) ∑n=1∞(an+bn)=94\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right) = \frac{9}{4}이고 ∑n=1∞(an−bn)=34\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - b _{n} \right) = \frac{3}{4}이다.

①94\displaystyle \frac{9}{4}②114\displaystyle \frac{11}{4}③134\displaystyle \frac{13}{4}④154\displaystyle \frac{15}{4}⑤174\displaystyle \frac{17}{4}

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①

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해설

[출제의도] 등비급수의 성질 이해하기 ∑n=1∞an=x\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = x, ∑n=1∞bn=y\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = y라 하면 ∑n=1∞(an+bn)=94\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right) = \frac{9}{4}이므로 x+y=94\displaystyle x + y = \frac{9}{4}이다. ∑n=1∞(an−bn)=34\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - b _{n} \right) = \frac{3}{4}이므로 x−y=34\displaystyle x - y = \frac{3}{4}이다. 따라서 x=32\displaystyle x = \frac{3}{2}, y=34\displaystyle y = \frac{3}{4}이다. 첫째항이 11인 두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비를 각각 pp, qq라 하면 11−p=32\displaystyle \frac{1}{1 - p} = \frac{3}{2}, 11−q=34\displaystyle \frac{1}{1 - q} = \frac{3}{4}이다. 따라서 p=13\displaystyle p = \frac{1}{3}, q=−13\displaystyle q = - \frac{1}{3}이다. 그러므로 an=(13)n−1\displaystyle a _{n} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1}, bn=(−13)n−1\displaystyle b _{n} = \left( - \frac{1}{3} \right) ^{n - 1}이다. ∴∑n=1∞(an2+bn2)=2∑n=1∞(19)n−1\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} ^{2} + b _{n} ^{2} \right) = 2 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{9} \right) ^{n - 1}=21−19=94\displaystyle = \frac{2}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{4} [다른 풀이] 첫째항이 11인 두 등비수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}의 공비를 각각 pp, qq라 하면 ∑n=1∞(an+bn)=∑n=1∞an+∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} + \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}=11−p+11−q=94\displaystyle = \frac{1}{1 - p} + \frac{1}{1 - q} = \frac{9}{4}⋯㉠\cdots \text{㉠} ∑n=1∞(an−bn)=∑n=1∞an−∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - b _{n} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}=11−p−11−q=34\displaystyle = \frac{1}{1 - p} - \frac{1}{1 - q} = \frac{3}{4}⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 p=13\displaystyle p = \frac{1}{3}, q=−13\displaystyle q = - \frac{1}{3}이다. 첫째항이 11인 두 등비수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}의 공비가 각각 pp, qq이므로 두 등비수열 {an2},{bn2}\left\{ a _{n} ^{2} \right\} , \left\{ b _{n} ^{2} \right\} 의 공비는 각각 p2p ^{2}, q2q ^{2}이다. ∴∑n=1∞(an2+bn2)=∑n=1∞an2+∑n=1∞bn2\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} ^{2} + b _{n} ^{2} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} ^{2} + \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} ^{2} =11−p2+11−q2\displaystyle = \frac{1}{1 - p ^{2}} + \frac{1}{1 - q ^{2}} =11−19+11−19\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{9}}=99−1+99−1\displaystyle = \frac{9}{9 - 1} + \frac{9}{9 - 1}=94\displaystyle = \frac{9}{4}

태그

#등비급수#공비

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