미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 등비급수 제곱합

문제

첫째항이 11인 두 무한등비급수 ∑n=1∞an,∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} , \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n}이 모두 수렴하고, ∑n=1∞(an+bn)=83\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} ) = \frac{8}{3}, ∑n=1∞anbn=45\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} b _{n} = \frac{4}{5}가 성립한다. 이 때, 무한급수 ∑n=1∞(an+bn)2\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} ) ^{2}의 합은? [3점] ①6415\displaystyle \frac{64}{15}②55③325\displaystyle \frac{32}{5}④152\displaystyle \frac{15}{2}⑤1010

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①

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해설

{an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 rr, {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비를 ss라 하면 (단, r≤sr \leq s) 11−r+11−s=83,11−rs=45\displaystyle \frac{1}{1 - r} + \frac{1}{1 - s} = \frac{8}{3} , \frac{1}{1 - rs} = \frac{4}{5} ∴3(2−r−s)=8(1−r−s+rs)3 ( 2 - r - s ) = 8 ( 1 - r - s + rs )…㉠ 4(1−rs)=54 ( 1 - rs ) = 5…㉡ ㉠, ㉡을 연립하면, rs=−14,r+s=0\displaystyle rs = - \frac{1}{4} , r + s = 0 ∴r=−12,s=12\displaystyle r = - \frac{1}{2} , s = \frac{1}{2} ∴∑n=1∞an2=11−(−12)2=43\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} ^{2} = \frac{1}{1 - \left( - \frac{1}{2} \right) ^{2}} = \frac{4}{3} ∑n=1∞bn2=11−(12)2=43\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} ^{2} = \frac{1}{1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}} = \frac{4}{3} ∴∑n=1∞(an+bn)2=∑n=1∞(an2+bn2+2anbn)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} ) ^{2} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} ^{2} + b _{n} ^{2} + 2 a _{n} b _{n} ) =43+43+2×45\displaystyle = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 2 \times \frac{4}{5}=6415\displaystyle = \frac{64}{15}

태그

#무한등비급수

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