미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 등비급수

문제

첫째항과 공비가 각각 00이 아닌 두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 두 급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}, ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}이 각각 수렴하고 ∑n=1∞b2na2n=53\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{b _{2 n}}{a _{2 n}} = \frac{5}{3}, ∣∑n=1∞(an−bn)∣=∣∑n=1∞an∣\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - b _{n} \right) \right| = \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} \right| 이 성립한다. b1=52a1\displaystyle b _{1} = \frac{5}{2} a _{1}일 때, 25×a2b3\displaystyle 25 \times \frac{a _{2}}{b _{3}}의 값을 구하시오. [4점]

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120

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해설

두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 첫째항과 공비가 각각 00이 아니므로 수열 {bnan}\displaystyle \left\{ \frac{b _{n}}{a _{n}} \right\}도 첫째항과 공비가 00이 아닌 등비수열이다. 등비수열 {bnan}\displaystyle \left\{ \frac{b _{n}}{a _{n}} \right\}의 공비를 rr이라 하면 등비수열 {b2na2n}\displaystyle \left\{ \frac{b _{2 n}}{a _{2 n}} \right\}의 공비 r2r ^{2}이고 급수 ∑n=1∞b2na2n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{b _{2 n}}{a _{2 n}}가 수렴하므로 −1<r2<1- 1 < r ^{2} < 1 b1=52a1\displaystyle b _{1} = \frac{5}{2} a _{1}에서 b1a1=52\displaystyle \frac{b _{1}}{a _{1}} = \frac{5}{2}이므로 ∑n=1∞b2na2n=53\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{b _{2 n}}{a _{2 n}} = \frac{5}{3}에서 52r1−r2=53\displaystyle \frac{\frac{5}{2} r}{1 - r ^{2}} = \frac{5}{3}, r=−2r = - 2 또는 r=12\displaystyle r = \frac{1}{2} −1<r2<1- 1 < r ^{2} < 1이므로 r=12\displaystyle r = \frac{1}{2} bnan=52×(12)n−1\displaystyle \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{5}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}, bn=52an×(12)n−1\displaystyle b _{n} = \frac{5}{2} a _{n} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 두 급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}, ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}이 수렴하므로 ∣∑n=1∞(an−bn)∣=∣∑n=1∞an∣\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - b _{n} \right) \right| = \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} \right|에서 ∑n=1∞an−∑n=1∞bn=∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} 또는 ∑n=1∞an−∑n=1∞bn=−∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} ∑n=1∞bn≠0\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} \ne 0이므로 2∑n=1∞an=∑n=1∞bn\displaystyle 2 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} 이때 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 ss라 하면 ㉠에서 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비가 12s\displaystyle \frac{1}{2} s이므로 2×a11−s=52a11−12s\displaystyle 2 \times \frac{a _{1}}{1 - s} = \frac{\frac{5}{2} a _{1}}{1 - \frac{1}{2} s}, s=13\displaystyle s = \frac{1}{3} ∴25×a2b3=25×a3b3×1s=25×152×(12)2×3=120\displaystyle \therefore 25 \times \frac{a _{2}}{b _{3}} = 25 \times \frac{a _{3}}{b _{3}} \times \frac{1}{s} = 25 \times \frac{1}{\frac{5}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}} \times 3 = 120

태그

#등비급수#공비

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