공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 대칭변환 합성

문제

$a > b > 0$ 일 때, 직선 $y = ax$ 에 대한 대칭변환을 $T _{1}$ , 직선 $y = bx$ 에 대한 대칭변환을 $T _{2}$ 라 하자. 점 $( 1 , 0 )$ 이 합성변환 $T _{1} \circ T _{2}$ 에 의하여 점 $( 0 , 1 )$ 로 옮겨질 때, $a$ 와 $b$ 가 만족하는 식은? [4점] ① $a + b = 3$ ② $ab - a - b = 2$ ③ $ab = 1$ ④ $ab - a + b = - 1$ ⑤ $ab + a + b = 1$

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④

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해설

$a > b > 0$ 일 때,

점 $( 1 , 0 )$ 이 합성변환 $T _{1} \circ T _{2}$ 에 의하여 점 $( 0 , 1 )$ 로 옮겨지려면 위의 그림에서 처럼 직각삼각형 4개가 모두 합동이다. 그러므로 직선 $y = ax$ 와 직선 $y = bx$ 가 이루는 각의 크기가 $45 ^\circ$ 이다. 그러므로 직선 $y = ax$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\alpha$ 라 두면 $\tan \alpha = a$ 이고, 직선 $y = bx$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\beta$ 라 두면 $\tan \beta = b$ 이고, $\alpha - \beta = 45 ^\circ$ 이므로 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $\displaystyle \tan ( \alpha - \beta ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ 에서 $\displaystyle \frac{a - b}{1 + a b} = 1$ $\therefore a b - a + b = - 1$

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