공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 축에 접하는 원의 반지름

문제

그림과 같이 방정식 x2+y2−2kx−2ky+k2=0x ^{2} + y ^{2} - 2 kx - 2 ky + k ^{2} = 0 이 나타내는 원 CC 는 xx 축과 yy 축에 모두 접한다. 원 CC 가 점 P(4,2)\mathrm{P} ( 4 , 2 ) 를 지날 때, 양수 kk 의 값을 구하시오. (단, k>3k > 3) [3점]

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10

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해설

x2+y2−2kx−2ky+k2=0x ^{2} + y ^{2} - 2 kx - 2 ky + k ^{2} = 0 을 변형하면 (x−k)2+(y−k)2=k2\left( x - k \right) ^{2} + \left( y - k \right) ^{2} = k ^{2} 이므로 원 CC 는 중심이 (k,k)( k , k ) 이고 반지름의 길이가 kk 인 원이다. 원 CC 가 점 P(4,2)\mathrm{P} ( 4 , 2 ) 를 지나므로 (4−k)2+(2−k)2=k2\left( 4 - k \right) ^{2} + \left( 2 - k \right) ^{2} = k ^{2} k2−12k+20=0k ^{2} - 12 k + 20 = 0 (k−2)(k−10)=0\left( k - 2 \right) \left( k - 10 \right) = 0 에서 k=2k = 2 또는 k=10k = 10 따라서 k>3k > 3 이므로 k=10k = 10

태그

#원의 방정식#반지름#축에 접하는 원

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