두 축 위의 점을 거치는 최단 경로

실마리: 꺾인 경로를 곧게 펴려면 꺾이는 축마다 한 번씩 대칭이동을 한다. 점 $\mathrm{A} ( 3 , 4 )$의 $x$축에 대한 대칭점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\mathrm{A}' ( 3 , - 4 )$이고, $x$축 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$ 점 $\mathrm{B} ( 2 , 8 )$의 $y$축에 대한 대칭점을 $\mathrm{B}'$이라 하면 $\mathrm{B}' ( - 2 , 8 )$이고, $y$축 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{QB}'}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}'} \geq \overline{\mathrm{A}' B'}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B'} = \sqrt{( - 2 - 3 ) ^{2} + ( 8 - ( - 4 ) ) ^{2}} = \sqrt{25 + 144} = 13$ 등호가 성립하는지 확인하면, 선분 $\mathrm{A}' B'$은 $x$축과 점 $\displaystyle \left( \frac{4}{3} , 0 \right)$에서 만난 뒤 $y$축과 점 $\displaystyle \left( 0 , \frac{16}{5} \right)$에서 만나므로, 이 두 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$로 잡으면 등호가 성립한다. 따라서 최솟값은 $13$이다.