미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

동심원 반지름 급수

문제

동심원 A1,A2,⋯ ,An,⋯A _{1} , A _{2} , \cdots , A _{n} , \cdots의 반지름의 길이를 각각 r1,r2,⋯ ,rn,⋯r _{1} , r _{2} , \cdots , r _{n} , \cdots이라 하고, 그 넓이를 각각 S1,S2,⋯ ,Sn,⋯S _{1} , S _{2} , \cdots , S _{n} , \cdots이라 할 때, Sn+1=2SnS _{n + 1} = 2 S _{n} (n=1,2,⋯n = 1 , 2 , \cdots)이 성립한다. r1=1r _{1} = 1일 때, ∑n=1∞1rn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{r _{n}}의 값은? [3점] ①1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}②2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}③1+22\displaystyle 1 + 2 \sqrt{2}④2+22\displaystyle 2 + 2 \sqrt{2}⑤1+32\displaystyle 1 + 3 \sqrt{2}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

Sn=πrn2S _{n} = \pi r _{n} ^{2}, Sn+1=2SnS _{n + 1} = 2 S _{n}이므로 πrn+12=2πrn2\pi r _{n + 1} ^{2} = 2 \pi r _{n} ^{2}, rn+1=2rn\displaystyle r _{n + 1} = \sqrt{2} r _{n} r1=1r _{1} = 1이므로 rn=(2)n−1\displaystyle r _{n} = ( \sqrt{2} ) ^{n - 1} ∴\therefore∑n=1∞1rn=∑n=1∞(12)n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{r _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^{n - 1} =11−12\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} =2+2\displaystyle = 2 + \sqrt{2}

태그

#등비급수

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로