확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

동전과 상자 공 옮기기

문제

상자 $\mathrm{A}$ 와 상자 $\mathrm{B}$ 에 각각 $6$ 개의 공이 들어 있다. 동전 $1$ 개를 사용하여 다음 시행을 한다. 동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 상자 $\mathrm{A}$ 에서 공 $1$ 개를 꺼내어 상자 $\mathrm{B}$ 에 넣고, 뒷면이 나오면 상자 $\mathrm{B}$ 에서 공 $1$ 개를 꺼내어 상자 $\mathrm{A}$ 에 넣는다.

위의 시행을 $6$ 번 반복할 때, 상자 $\mathrm{B}$ 에 들어 있는 공의 개수가 $6$ 번째 시행 후 처음으로 $8$ 이 될 확률은? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{64}$ ② $\displaystyle \frac{3}{64}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{64}$ ④ $\displaystyle \frac{7}{64}$ ⑤ $\displaystyle \frac{9}{64}$

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③

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해설

동전을 던져서 앞면과 뒷면이 나오는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 로 같다. 상자 $\mathrm{B}$ 에 들어 있는 공의 개수가 $6$ 번째 시행 후 처음으로 $8$ 이 되어야 하므로 $5$ 번째 시행 후에는 $7$ , $4$ 번째 시행 후에는 $6$ 이어야 한다. $4$ 번째 시행 후에 $6$ 이 되기 위해서는 앞면과 뒷면이 각각 $2$ 번씩 나와야 하고, 첫 번째와 두 번째 모두 앞면이 나오는 경우를 제외해야 하므로 구하는 확률은 $\displaystyle \left\{ ( _{4} {\mathrm{C}} _{2} - 1 ) \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right\} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{64}$ 이다. [다른풀이] 상자 $\mathrm{B}$ 에 들어 있는 공의 개수가 $6$ 번째 시행 후 처음으로 $8$ 이 되는 경우를 직접 세어보면

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
앞	뒤	앞	뒤	앞	앞
앞	뒤	뒤	앞	앞	앞
뒤	앞	뒤	앞	앞	앞
뒤	뒤	앞	앞	앞	앞
뒤	앞	앞	뒤	앞	앞

의 5가지이다. 전체 경우의 수는 $2 ^{6} = 64$ 이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{5}{64}$ 이다.

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