동전 점수 분산

(i) (앞,뒤,앞) 또는 (뒤,앞,뒤)가 나올 확률은 $\displaystyle P ( X = 0 ) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (ii) (앞,앞,뒤) 또는 (앞,뒤,뒤) 또는 (뒤,뒤,앞) 또는 (뒤,앞,앞)이 나올 확률은 $\displaystyle P ( X = 1 ) = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (iii) (앞,앞,앞) 또는 (뒤,뒤,뒤)가 나올 확률은 $\displaystyle P ( X = 3 ) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 따라서 확률변수 $X$의 확률분포표는 다음과 같다.

이 때, $\displaystyle E ( X ) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$이므로 $V ( X ) = E ( X ^{2} ) - \left\{ ( E ( X ) \right\} ^{2}$ $\displaystyle = 0 ^{2} \times \frac{1}{4} + 1 ^{2} \times \frac{1}{2} + 3 ^{2} \times \frac{1}{4}$$\displaystyle - \left( \frac{5}{4} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{11}{4} - \frac{25}{16}$$\displaystyle = \frac{19}{16}$