확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

동전 뒤집기 조건부확률

문제

탁자 위에 놓인 4\mathrm{4}개의 동전에 대하여 다음 시행을 한다.

4\mathrm{4}개의 동전 중 임의로 한 개의 동전을 택하여 한 번 뒤집는다.

처음에 3\mathrm{3}개의 동전은 앞면이 보이도록, 1\mathrm{1}개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 위의 시행을 5\mathrm{5}번 반복한 후 4\mathrm{4}개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 때, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? [4점] ①1732\displaystyle \frac{17}{32}②3564\displaystyle \frac{35}{64}③916\displaystyle \frac{9}{16}④3764\displaystyle \frac{37}{64}⑤1932\displaystyle \frac{19}{32}

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①

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해설

동전 44개를 왼쪽부터 차례대로①, ②, ③, ④, 동전의 앞면을 H\mathrm{H}, 뒷면을 T\mathrm{T}라 할 때 동전 44개의 순서쌍 (H,H,H,T)\left( \mathrm{H} , H , H , T \right)에서 동전 11개를 뒤집는 시행을 55회 시행한 후 모든 면이 같아야 한다. (ⅰ) 55회 시행한 후 모든 면이 앞면일 때, ①, ②, ③, ④를 뒤집은 횟수의 순서쌍이 (1) (0,0,4,1)\left( 0 , 0 , 4 , 1 \right)일 때 구하는 경우의 수는 33개의 H\mathrm{H} 중 44번 뒤집을 하나를 선택하고 44개의 H\mathrm{H}와 11개의 T\mathrm{T}를 배열하는 경우의 수와 같다. 3×5!4!=15\displaystyle 3 \times \frac{5 !}{4 !} = 15 (2) (0,2,2,1)\left( 0 , 2 , 2 , 1 \right)일 때 구하는 경우의 수는 33개의 H\mathrm{H} 중 뒤집지 않을 하나를 선택하고 선택한 22개의 H\mathrm{H}를 ①, ②라 하면 ①, ①, ②, ②, ④를 배열하는 경우의 수와 같다. 3×5!2!2!=90\displaystyle 3 \times \frac{5 !}{2 ! 2 !} = 90 (3) (0,0,2,3)\left( 0 , 0 , 2 , 3 \right)일 때 구하는 경우의 수는 33개의 H\mathrm{H} 중 22번 뒤집을 하나를 선택하고 22개의 H\mathrm{H}와 33개의 T\mathrm{T}를 배열하는 경우의 수와 같다. 3×5!2!3!=30\displaystyle 3 \times \frac{5 !}{2 ! 3 !} = 30 (4) (0,0,0,5)\left( 0 , 0 , 0 , 5 \right)일 때 경우의 수는 11이다. 이상에서 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 15+90+30+1=13615 + 90 + 30 + 1 = 136 (ⅱ) 55회 시행한 후 모든 면이 앞면일 때, ①, ②, ③, ④를 뒤집은 횟수의 순서쌍이 (1) (1,1,1,2)\left( 1 , 1 , 1 , 2 \right)일 때 구하는 경우의 수는 ①, ②, ③, ④, ④를 배열하는 경우의 수와 같다. 5!2!=60\displaystyle \frac{5 !}{2 !} = 60 (2) (1,1,3,0)\left( 1 , 1 , 3 , 0 \right)일 때 구하는 경우의 수는 33번 뒤집을 H\mathrm{H}를 선택하고 ①, ①, ①, ②, ③을 배열하는 경우의 수와 같다. 3×5!3!=60\displaystyle 3 \times \frac{5 !}{3 !} = 60 이상에서 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 60+60=12060 + 60 = 120 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 136136+120=136256=1732\displaystyle \frac{136}{136 + 120} = \frac{136}{256} = \frac{17}{32}

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