동전 뒤집기 확률

앞면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 $a$, 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 $b$일 때, $( a , b )$로 나타내기로 하면 최초의 상태는 $( 2 , 3 )$이고 $3$번의 시행의 결과도 $( 2 , 3 )$이다. 가능한 경우를 표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ)의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\displaystyle = \frac{27}{125}$ (ⅱ)의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$1$$\displaystyle = \frac{3}{50}$ (ⅲ)의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{4} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\displaystyle = \frac{27}{250}$ (ⅳ)의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$1$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\displaystyle = \frac{3}{50}$ (ⅴ)의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{4} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\displaystyle = \frac{27}{250}$ (ⅵ)의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{1} \mathrm{C} _{1} \times _{4} \mathrm{C} _{1}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\times$$\displaystyle \frac{{}_{4} \mathrm{C} _{2}}{{}_{5} \mathrm{C} _{2}}$$\displaystyle = \frac{18}{250}$ (ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{27}{125} + \frac{3}{50} + \frac{27}{250} + \frac{3}{50} + \frac{27}{250} + \frac{18}{250}$$\displaystyle = \frac{78}{125}$