동전 뒤집기 기댓값

뒤집은 $3$개의 동전 중 앞면인 것의 개수를 $a$($= 0$, $1$, $2$, $3$)라 하자. ⅰ) $a = 0$일 때, $X = 6$이고 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3} {\mathrm{C}} _{0} \times _{4} {\mathrm{C}} _{3}}{{}_{7{\mathrm{C}}_{3}}} = \frac{4}{35}$이다. ⅱ) $a = 1$일 때, $X = 4$이고 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3} {\mathrm{C}} _{1} \times _{4} {\mathrm{C}} _{2}}{{}_{7{\mathrm{C}}_{3}}} = \frac{18}{35}$이다. ⅲ) $a = 2$일 때, $X = 2$이고 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3} {\mathrm{C}} _{2} \times _{4} {\mathrm{C}} _{1}}{{}_{7{\mathrm{C}}_{3}}} = \frac{12}{35}$이다. ⅳ) $a = 3$일 때, $X = 0$이고 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3} {\mathrm{C}} _{3} \times _{4} {\mathrm{C}} _{0}}{{}_{7{\mathrm{C}}_{3}}} = \frac{1}{35}$이다. ⅰ)~ⅳ)에 의하여 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

∴ ${\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle = \frac{24 + 72 + 24}{35} = \frac{24}{7}$ ∴ ${\mathrm{E}} ( 7 X )$$= 24$