대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

동경의 일치

문제

좌표평면에서 직선 y=x+1y = x + 1 위의 xx좌표가 양수인 점 P\mathrm{P}에 대하여 동경 OP\mathrm{OP}가 나타내는 각의 크기를 θ(0<θ<2π)\theta \left( 0 < \theta < 2 \pi \right)라 하자. 각의 크기 θ\theta를 나타내는 동경과 각의 크기 7θ7 \theta를 나타내는 동경이 일치할 때, 점 P\mathrm{P}의 xx좌표는? (단, O\mathrm{O}는 원점이고, xx축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) [3점] ①3−12\displaystyle \frac{\sqrt{3} - 1}{2}②23−14\displaystyle \frac{2 \sqrt{3} - 1}{4}③32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}④23+14\displaystyle \frac{2 \sqrt{3} + 1}{4}⑤3+12\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{2}

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⑤

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해설

점 P\mathrm{P}의 xx좌표를 a(a>0)a \left( a > 0 \right)이라 하면 점 P\mathrm{P}의 좌표는 P(a,a+1){\mathrm{P}} \mathit{\left( a , a + 1 \right)} 각의 크기 θ\theta를 나타내는 동경과 각의 크기 7θ7 \theta를 나타내는 동경이 일치하므로 7θ=θ+2nπ(n7 \theta = \theta + 2 n \pi \left( n \right.은 정수)) θ=n3π\displaystyle \theta = \frac{n}{3} \pi 이때 점 P\mathrm{P}는 제1\mathrm{1}사분면 위의 점이고 0<θ<2π0 < \theta < 2 \pi이므로 n=1n = 1, θ=π3\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} tan⁡π3=a+1a\displaystyle \tan \frac{\pi}{3} = \frac{a + 1}{a}에서 3a=a+1\displaystyle \sqrt{3} a = a + 1, (3−1)a=1\displaystyle \left( \sqrt{3} - 1 \right) a = 1 따라서 a=13−1=3+12\displaystyle a = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}

태그

#동경#일반각#탄젠트

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