대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

동경과 삼각함수

문제

좌표평면 위의 원점 O\mathrm{O}에서 xx축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 원점 O\mathrm{O}와 점 P(5,a)\mathrm{P} \mathit{\left( 5 , a \right)}를 지나는 동경 OP\mathrm{OP}가 나타내는 각의 크기를 θ\theta, 선분 OP\mathrm{OP}의 길이를 rr라 하자. sin⁡θ+2cos⁡θ=1\sin \theta + 2 \cos \theta = 1일 때, a+ra + r의 값은? (단, aa는 상수이다.) [4점] ①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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①

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해설

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기 동경 OP\mathrm{OP}가 나타내는 각의 크기가 θ\theta이고 OP‾=r\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = \mathit{r} 이므로 sin⁡θ=ar\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{r}이고 cos⁡θ=5r\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{r}이다. sin⁡θ+2cos⁡θ=1\sin \theta + 2 \cos \theta = 1에서 ar+10r=1\displaystyle \frac{a}{r} + \frac{10}{r} = 1이므로 r=a+10r = a + 10이다. ⋯⋯\cdots \cdots㉠ sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1에서 (ar)2+(5r)2=1\displaystyle \left( \frac{a}{r} \right) ^{2} + \left( \frac{5}{r} \right) ^{2} = 1이므로 a2+25=r2a ^{2} + 25 = r ^{2}이다. ⋯⋯\cdots \cdots㉡ ㉠, ㉡에 의하여 a=−154\displaystyle a = \mathit{-} \frac{15}{4}이고 r=254\displaystyle r = \frac{25}{4}이다. 따라서 a+r=52\displaystyle a + r = \frac{5}{2}

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#일반각#삼각함수의 정의

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