대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

동경과 삼각함수

문제

좌표평면에서 원 x2+y2=r2(r>2)x ^{2} + y ^{2} = r ^{2} \left( r > 2 \right)와 직선 x=−2x = - 2가 만나는 두 점 중 yy좌표가 양수인 점을 A{\mathrm{A}}, yy좌표가 음수인 점을 B{\mathrm{B}}라 하고, 두 동경 OA{\mathrm{OA}}, OB{\mathrm{OB}}가 나타내는 각의 크기를 각각 α\alpha, β\beta라 하자. 2cos⁡α=3sin⁡β2 \cos \alpha = 3 \sin \beta일 때, r(sin⁡α+cos⁡β)r \left( \sin \alpha + \cos \beta \right)의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이고, xx축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) [4점] ①−83\displaystyle - \frac{8}{3}②−53\displaystyle - \frac{5}{3}③−23\displaystyle - \frac{2}{3}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤43\displaystyle \frac{4}{3}

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③

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해설

점 A{\mathrm{A}}의 좌표를 (−2,a)(a>0)\left( - 2 , a \right) \left( a > 0 \right)이라 하면 점 B{\mathrm{B}}의 좌표는 (−2,−a)( - 2 , - a )이고 OA‾=OB‾=r\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = \overline{{\mathrm{OB}}} = r이므로 cos⁡α=−2r\displaystyle \cos \alpha = - \frac{2}{r}, sin⁡β=−ar\displaystyle \sin \beta = - \frac{a}{r} 2cos⁡α=3sin⁡β2 \cos \alpha = 3 \sin \beta에서 2×(−2r)=3×(−ar)\displaystyle 2 \times \left( - \frac{2}{r} \right) = 3 \times \left( - \frac{a}{r} \right) a=43\displaystyle a = \frac{4}{3} 한편 sin⁡α=ar\displaystyle \sin \alpha = \frac{a}{r}, cos⁡β=−2r\displaystyle \cos \beta = - \frac{2}{r}이므로 r(sin⁡α+cos⁡β)r \left( \sin \alpha + \cos \beta \right)=r{ar+(−2r)}\displaystyle = r \left\{ \frac{a}{r} + \left( - \frac{2}{r} \right) \right\} =a+(−2)=43+(−2)\displaystyle = a + \left( - 2 \right) = \frac{4}{3} + \left( - 2 \right) =−23\displaystyle = - \frac{2}{3}

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#동경#삼각함수의 정의

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