동경과 사각형 넓이

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$이고 원의 반지름의 길이가 $2$이므로 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$는 직각삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{2} + \alpha$이고, $\beta < \pi$이므로 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$이다.

$\displaystyle \sin \beta = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha$이므로 $\displaystyle \cos \alpha \times \sin \beta = \cos ^{2} \alpha = \frac{1}{5}$이고 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$이다. 그러므로 $\displaystyle \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^{2} \alpha} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$이고 $\displaystyle \cos \beta = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \alpha = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$이다. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 좌표를 각각 ${\mathrm{A}} \left( x _{1} , y _{1} \right)$, ${\mathrm{B}} \left( x _{2} , y _{2} \right)$라 하면 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{x _{1}}{2}$에서 $\displaystyle x _{1} = 2 \cos \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$이고 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{y _{1}}{2}$에서 $\displaystyle y _{1} = 2 \sin \alpha = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$이다. $\displaystyle \cos \beta = \frac{x _{2}}{2}$에서 $\displaystyle x _{2} = 2 \cos \beta = - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$이고 $\displaystyle \sin \beta = \frac{y _{2}}{2}$에서 $\displaystyle y _{2} = 2 \sin \beta = 2 \cos \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$이다. 그러므로 네 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5} , \frac{4 \sqrt{5}}{5} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( - \frac{4 \sqrt{5}}{5} , \frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5} , 0 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{D}} \left( - \frac{4 \sqrt{5}}{5} , 0 \right)$이다. 따라서 사각형 ${\mathrm{ABDC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{AC}}} + {\overline{\mathrm{BD}}} \right) \times {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{1}{2} \times \frac{6 \sqrt{5}}{5} \times \frac{6 \sqrt{5}}{5} = \frac{18}{5}$ 이다.