동차 유리식 값

[출제의도] 등식의 성질을 이용하여 유리식의 값을 구한다. $\displaystyle \frac{x ^{2} - 3 xy - y ^{2}}{x ^{2} - 3 xy - 5 y ^{2}} = - 3$ $x ^{2} - 3 xy - y ^{2} = - 3 \left( x ^{2} - 3 xy - 5 y ^{2} \right)$ $x ^{2} - 3 xy - y ^{2} = - 3 x ^{2} + 9 xy + 15 y ^{2}$ $4 x ^{2} - 12 xy - 16 y ^{2} = 0$ $4 ( x - 4 y ) ( x + y ) = 0$ (ⅰ) $x = - y$인 경우 $xy = ( - y ) y = - y ^{2} \leq 0$ $xy > 0$에 모순이므로 $x \ne - y$ (ⅱ) $x = 4 y$인 경우 $xy = ( 4 y ) y = 4 y ^{2} > 0$ ($\because y \ne 0$) (ⅰ), (ⅱ)에서 $x = 4 y$ $\displaystyle \frac{3 x + 4 y}{x - 3 y}$$\displaystyle = \frac{3 ( 4 y ) + 4 y}{4 y - 3 y}$$\displaystyle = \frac{16 y}{y}$$= 16$($\because y \ne 0$) [다른 풀이] 좌변의 분자 분모를 $y ^{2}$($\because y \ne 0$)으로 나누면 $\displaystyle \frac{\left( \frac{x}{y} \right) ^{2} - 3 \left( \frac{x}{y} \right) - 1}{\left( \frac{x}{y} \right) ^{2} - 3 \left( \frac{x}{y} \right) - 5} = - 3$ $\displaystyle \frac{x}{y} = t$($t > 0$)라 하면 $\displaystyle \frac{t ^{2} - 3 t - 1}{t ^{2} - 3 t - 5} = - 3$ $4 t ^{2} - 12 t - 16 = 0$ $4 \left( t ^{2} - 3 t - 4 \right) = 0$ $4 ( t - 4 ) ( t + 1 ) = 0$ $t = 4$, $t = - 1$ $\therefore$$t = 4$ ($t > 0$) 그러므로 $\displaystyle \frac{x}{y} = t$에서 $x = 4 y$ $\displaystyle \frac{3 x + 4 y}{x - 3 y}$$\displaystyle = \frac{3 ( 4 y ) + 4 y}{4 y - 3 y}$$\displaystyle = \frac{16 y}{y}$$= 16$ ($\because y \ne 0$)