독립시행 확률

[출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가? $a - b = 3$이므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) $a = 5$이고 $b = 2$ 일 때, 주사위를 $5$번 던질 때, 홀수의 눈이 $5$번 나오고 동전을 $4$번 던질 때, 앞면이 $2$번 나와야 하므로 확률은 $\displaystyle {} _{5} {\mathrm{C}} _{5} \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} \left( \frac{1}{2} \right) ^{0} \times {} _{4} {\mathrm{C}} _{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2 ^{5}} \times \frac{3}{2 ^{3}}$$\displaystyle = \frac{3}{2 ^{8}}$ (ⅱ) $a = 4$이고 $b = 1$일 때, 주사위를 $5$번 던질 때, 홀수의 눈이 $4$번 나오고 동전을 $4$번 던질 때, 앞면이 $1$번 나와야 하므로 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{4}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \times _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{3}$$\displaystyle = \frac{5}{2 ^{5}} \times \frac{1}{2 ^{2}}$$\displaystyle = \frac{5}{2 ^{7}}$ (ⅲ) $a = 3$이고 $b = 0$일 때, 주사위를 $5$번 던질 때, 홀수의 눈이 $3$번 나오고 동전을 $4$번 던질 때, 앞면이 $0$번 나와야 하므로 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \times _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{0} \left( \frac{1}{2} \right) ^{4}$$\displaystyle = \frac{5}{2 ^{4}} \times \frac{1}{2 ^{4}}$$\displaystyle = \frac{5}{2 ^{8}}$ 따라서, 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{3}{2 ^{8}} + \frac{5}{2 ^{7}} + \frac{5}{2 ^{8}}$$\displaystyle = \frac{18}{2 ^{8}} = \frac{9}{2 ^{7}} = \frac{9}{128}$ 이므로 $p + q = 128 + 9 = 137$