독립사건 빈칸

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 $a , b$라 하자. 다음은 이차함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 7 x + 12$에 대하여 $f \left( a \right) f \left( b \right) = 0$이 성립할 확률을 구하는 과정이다. 첫 번째 던져서 나오는 주사위의 눈의 수를 $a$라 할 때 $f \left( a \right) = 0$이 되는 사건을 $A$라 하고, 두 번째 던져서 나오는 주사위의 눈의 수를 $b$라 할 때, $f \left( b \right) = 0$이 되는 사건을 $B$라 하자. 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 해는 $x = 3$ 또는 $x = 4$이므로 ${\mathrm{P}} \left( A \right) = {\square {\left( \text{가} \right)}} , {\mathrm{P}} \left( B \right) = {\square {\left( \text{가} \right)}}$ 이다. 구하는 확률 ${\mathrm{P}} \left( A \cup B \right)$는 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \cup B \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} + \mathrm{P} \left( B \right) - \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}$ 이고, 두 사건 $A$와 $B$는 서로 독립이므로 ${\mathrm{P}} \left( A \cap B \right) = {\square {\left( \text{나} \right)}}$ 이다. 그러므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \cup B \right)} = {\square {\left( \text{다} \right)}}$ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $m , n , k$라 할 때, $m \times n \times k$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{1}{81}$②$\displaystyle \frac{5}{243}$③$\displaystyle \frac{7}{243}$④$\displaystyle \frac{1}{27}$⑤$\displaystyle \frac{11}{243}$