독립인 사건의 개수

$A = \{ 4 , 8 , 12 \}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( A ) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ $n ( A \cap X ) = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( A \cap X ) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ 이 때, 사건 $A$와 $X$가 독립이므로 $\mathrm{P} ( A \cap X ) = \mathrm{P} ( A ) \cdot \mathrm{P} ( X )$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \cdot \mathrm{P} ( X ) = \frac{1}{6}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{P} ( X ) = \frac{2}{3}$ 따라서 집합 $X$는 $4 , 8 , 12$에서 두 개의 원소를 포함하고, $4 , 8 , 12$를 제외한 나머지 $9$개의 원소에서 $6$개의 원소를 포함해야하므로 구하는 사건 $X$의 개수는 ${}_{3} \mathrm{C} _{2} \times _{9} \mathrm{C} _{6}$$= 3 \times _{9} \mathrm{C} _{3}$ $\displaystyle = 3 \times \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$