독립 사건 빈칸 추론

[출제의도] 두 사건이 서로 독립일 조건을 이용하여 빈칸에 알맞은 식이나 값을 구할 수 있는가? ${\mathrm{A}} _{k}$는 $k$번 째 자리에 $k$ 이하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, $k$번 째 자리를 제외한 $7$개의 자리에 나머지 $7$장의 카드가 놓여 있는 사건이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( {\mathrm{A}} _{k} \right) = \square {\frac{k \times 7 !}{8 !}} = \square {\frac{k}{8}}$이다. ${\mathrm{A}} _{m} \cap {\mathrm{A}} _{n}$ ($m < n$)은 $m$번 째 자리에 $m$ 이하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, $n$번 째 자리에 $n$ 이하의자연수 중 $m$번 째 자리에 놓인 카드에 적힌 수가 아닌 자연수가 적힌 카드가 놓여 있고, $m$번 째와 $n$번 째 자리를 제외한 $6$개의 자리에 나머지 $6$장의 카드가 놓여 있는 사건이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( {\mathrm{A}} _{m} \cap {\mathrm{A}} _{n} \right) = \square {\frac{m \times ( n - 1 ) \times 6 !}{8 !}}$$\displaystyle = \square {{\frac{m ( n - 1 )}{56}}}$이다. 한편, 두 사건 ${\mathrm{A}} _{m}$과 ${\mathrm{A}} _{n}$이 서로 독립이기 위해서는 ${\mathrm{P}} \left( {\mathrm{A}} _{m} \cap {\mathrm{A}} _{n} \right) = {\mathrm{P}} \left( {\mathrm{A}} _{m} \right) {\mathrm{P}} \left( {\mathrm{A}} _{n} \right)$ 을 만족시켜야 한다. 즉, $\displaystyle \frac{m ( n - 1 )}{56} = \frac{m}{8} \times \frac{n}{8}$이므로 $8 ( n - 1 ) = 7 n , n = 8$ 이때, $m = 1 , 2 , 3 , \cdots , 7$ 따라서 두 사건 ${\mathrm{A}} _{m}$과 ${\mathrm{A}} _{n}$이 서로 독립이 되도록 하는 $m , n$의 모든 순서쌍 $( m , n )$은 $( 1 , 8 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 , 8 ) , \cdots , ( 7 , 8 )$이고, 그 개수는 $\square {7}$이다. 이상에서 (가)에 알맞은 식은 $\displaystyle \frac{k}{8}$이므로 $\displaystyle p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (나)에 알맞은 식은 $\displaystyle \frac{m ( n - 1 )}{56}$이므로 $\displaystyle q = \frac{3 ( 5 - 1 )}{56} = \frac{3}{14}$ (다)에 알맞은 수는 $7$이므로 $r = 7$ 따라서 $\displaystyle p \times q \times r = \frac{1}{2} \times \frac{3}{14} \times 7 = \frac{3}{4}$