도형의 무한 반복과 급수

[출제의도] 무한히 반복되는 도형에서 넓이의 극한값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \overline{\mathrm{OC} _{1}}$$= 3 t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD} _{1}}}$$= 4 t$ $\left( t > 0 \right)$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP} _{1}}$$= 5 t$이므로 $5 t = 1$에서 $\displaystyle t = \frac{1}{5}$ 따라서, $\displaystyle \overline{\mathrm{OC} _{1}} = \frac{3}{5}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}} = \frac{2}{5}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} P _{1}} = \overline{\mathrm{OD} _{1}} = \frac{4}{5}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} P _{1}} = \sqrt{\left( \frac{2}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{4}{5} \right) ^{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 이때 삼각형 $\mathrm{P} _{1} Q _{1} A _{1}$은 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} Q _{1}} = \overline{\mathrm{P} _{1} Q _{1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 따라서 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right) ^{2} = \frac{1}{5}$ 또한, 선분 $\mathrm{A} _{1} P _{1}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} P _{1}} \perp \overline{\mathrm{Q} _{1} M}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} P _{1}} \perp \overline{\mathrm{OM}}$ 이므로 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{Q} _{1}$, $\mathrm{M}$은 한 직선 위에 있다.

이때, $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{1 ^{2} - \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) ^{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{Q} _{1} M} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ} _{1}} = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 따라서 두 도형(부채꼴) $\mathrm{OA} _{1} B _{1}$, $\mathrm{OA} _{2} B _{2}$의 닮음비는 $\displaystyle 1 : \frac{1}{\sqrt{5}}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{1}{5}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} {S _{n}} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}$