도형 속 최대공약수 최소공배수

[출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수 추론하기 두 다항식 $x ^{3} - x ^{2} - x + 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}$, $x ^{3} - 4 x ^{2} + 5 x - 2 = ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$ 의 최대공약수가 $( x - 1 ) ^{2}$ 이고 $x ^{3} - x ^{2} - x + 1$은 $x ^{2} - 1$과 $( x - 1 ) ^{2}$의 최소공배수이므로 조건 (나), (가)에 의하여 도형 $A$에는 $( x - 1 ) ^{2}$을 적을 수 있다. 조건 (가)에 의하여 도형 $B$에 적을 식과 도형 $A$에 적을 식 $( x - 1 ) ^{2}$의 최소공배수가 $( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$이므로 도형 $B$에는 $x - 2$또는 $( x - 1 ) ( x - 2 )$또는 $( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$를 적을 수 있다. (ⅰ) 도형 $B$에 $x - 2$를 적으면 조건 (가)에 의하여 도형 $C$에는 $( x - 1 ) ( x - 2 )$를 적을 수 있다. 이때, $B$도형 에 적은 $x - 2$는 조건 (나)에 의하여 $( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$와 $( x - 1 ) ( x - 2 )$의 최대공약수 $( x - 1 ) ( x - 2 )$가 되어야 하므로 모순이다. 따라서 도형 $B$에 $x - 2$를 적을 수는 없다. (ⅱ) 도형 $B$에 $( x - 1 ) ( x - 2 )$를 적으면 도형 $C$에는 $( x - 1 ) ( x - 2 )$를 적을 수 있다. (ⅲ) 도형$B$ 에 $( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$를 적으면 도형 $C$에는 $( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$를 적을 수 있다. 그러므로 도형 $C$에 적을 수 있는 다항식은 $( x - 1 ) ( x - 2 )$와 $( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$뿐이다. 이때, 합 $P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) + ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$ $= x ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 따라서 $P ( 1 0 ) = 7 2 0$