미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도형 넓이의 급수

문제

그림과 같이 OA1‾=3\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}} \mathit{_{1}}} = \sqrt{3}, OC1‾=1\displaystyle \overline{{\mathrm{OC}} \mathit{_{1}}} = 1인 직사각형 OA1B1C1{\mathrm{OA}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}이 있다. 선분 B1C1{\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} 위의 B1D1‾=2C1D1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}} = 2 \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}}인 점 D1{\mathrm{D}} \mathit{_{1}}에 대하여 중심이 B1{\mathrm{B}} \mathit{_{1}}이고 반지름의 길이가 B1D1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}}인 원과 선분 OA1{\mathrm{OA}} \mathit{_{1}}의 교점을 E1{\mathrm{E}} \mathit{_{1}}, 중심이 C1{\mathrm{C}} \mathit{_{1}}이고 반지름의 길이가 C1D1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}}인 원과 선분 OC1{\mathrm{OC}} \mathit{_{1}}의 교점을 C2{\mathrm{C}} \mathit{_{2}}라 하자. 부채꼴 B1D1E1{\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}의 내부와 부채꼴 C1C2D1{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}의 내부로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 선분 OA1{\mathrm{OA}} \mathit{_{1}} 위의 점 A2{\mathrm{A}} \mathit{_{2}}, 호 D1E1{\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} 위의 점 B2{\mathrm{B}} \mathit{_{2}}와 점 C2{\mathrm{C}} \mathit{_{2}}, 점 O{\mathrm{O}}를 꼭짓점으로 하는 직사각형 OA2B2C2{\mathrm{OA}} \mathit{_{2}} {\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}를 그리고, 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 OA2B2C2{\mathrm{OA}} \mathit{_{2}} {\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [3점]

⋯\cdots
R1R _{1}R2R _{2}⋯\cdots

①5+2312π\displaystyle \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{12} \pi②2+36π\displaystyle \frac{2 + \sqrt{3}}{6} \pi③3+2312π\displaystyle \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{12} \pi④1+36π\displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}}{6} \pi⑤1+2312π\displaystyle \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{12} \pi

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⑤

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해설

C1D1‾=13\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} D _{1}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}, B1D1‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} D _{1}}} = \frac{2}{\sqrt{3}} ∠E1B1D1=π3\displaystyle \mathrm{\angle} E _{1} B _{1} D _{1} = \frac{\pi}{3} S1=12(13)2π2+12(23)2π3\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^{2} \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{2} \frac{\pi}{3} =1136π\displaystyle = \frac{11}{36} \pi OC2‾=3−13\displaystyle \mathrm{\overline{OC _{2}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}이므로 r=(3−13)2=4−233\displaystyle r = \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right) ^{2} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3} ∴\thereforelim⁡n→∞Sn=1136π1−4−233\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{11}{36} \pi}{1 - \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}}=1+2312π\displaystyle = \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{12} \pi

태그

#등비급수#도형의 닮음#부채꼴

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