대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

도형 넓이 수열 합

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 33개로 이루어진 도형 RR가 있다.

RR

자연수 nn에 대하여 2n2 n개의 도형 RR를 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 만든 직사각형의 넓이를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=1015an\displaystyle \sum\limits _{n = 10} ^{15} a _{n}의 값은? [3점] ①378378②396396③414414④432432⑤450450

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⑤

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해설

[출제의도] ∑\displaystyle \sum\limits의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다. 도형 RR의 넓이가 33이므로 2n2 n개의 도형 RR를 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 만든 직사각형의 넓이는 6n6 n이다. 그러므로 an=6na _{n} = 6 n에서 ∑n=1015an\displaystyle \sum\limits _{n = 10} ^{15} a _{n}=∑n=10156n\displaystyle = \sum\limits _{n = 10} ^{15} 6 n=∑n=1156n−∑n=196n\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{15} 6 n - \sum\limits _{n = 1} ^{9} 6 n =6×15×162−6×9×102\displaystyle = 6 \times \frac{15 \times 16}{2} - 6 \times \frac{9 \times 10}{2} =450= 450

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