도형 넓이 등비급수

[출제의도] 무한히 반복되는 도형에서 넓이의 합에 대한 극한값을 구할 수 있는가? 그림 $\mathrm{R} _{\mathit{n}}$에서$\mathrm{\angle} B _{\mathit{n} + 1} A D _{\mathit{n}} = \angle D _{\mathit{n}} A C _{\mathit{n}}$이므로 $\mathrm{\frown} {B _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n}}} = \frown {D _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}$ 이다 따라서, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n}}}} = \overline{D _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}$ 이므로 두 선분 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$과 호 $\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n}}$으로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$과 호 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$으로 둘러싸인 부분의 넓이의 합은 삼각형 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1}$의 넓이와 같다. $\mathrm{B} _{n+1}$

그림 $\mathrm{R} _{1}$의 삼각형 $\mathrm{AB} _{1} C _{1}$에서 코사인법칙에 의하여 ∴$\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}} ^{2} = 3 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \times 3 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3} = 7$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}} = \sqrt{7}$ 또한, $\mathrm{\angle} B _{1} AC _{1}$의 이등분선이 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$과 만나는 점이 $\mathrm{D} _{1}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB _{1}}} : \overline{AC _{1}} = \overline{B _{1} D _{1}} : \overline{D _{1} C _{1}} = 3 : 2$ 따라서, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} D _{1}}} = \frac{3 \sqrt{7}}{5}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{1} C _{1}}} = \frac{2 \sqrt{7}}{5}$ 또한, 삼각형 $\mathrm{AD} _{1} C _{1}$의 외접원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\angle} D _{1} OC _{1} = \angle B _{2} O D _{1} = \frac{\pi}{3}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{D} _{1} OC _{1} , B _{2} O D _{1}$은 모두 정삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\angle} B _{2} D _{1} C _{1} = \frac{2}{3} \pi$이다. 따라서, $\displaystyle \mathrm{\angle} B _{2} D _{1} B _{1} = \frac{\pi}{3}$ 이므로 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{7}}{5} \times \frac{2 \sqrt{7}}{5} \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{21 \sqrt{3}}{50}$ 또한, 삼각형 $\mathrm{B} _{1} D _{1} B _{2}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} B _{2}}} ^{2} = \left( \frac{3 \sqrt{7}}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{2 \sqrt{7}}{5} \right) ^{2}$$\displaystyle - 2 \times \frac{3 \sqrt{7}}{5} \times \frac{2 \sqrt{7}}{5} \times \cos \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle = \frac{91}{25} - \frac{42}{25} = \frac{49}{25}$ 이므로 ∴$\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} B _{2}}} = \frac{7}{5}$ 따라서, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB _{2}}} = 3 - \frac{7}{5} = \frac{8}{5}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} _{1} : \overline{AB} _{2} = 3 : {\frac{8}{5}} = 1 : \frac{8}{15}$ 이때, 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{64}{225}$ 이므로 ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \frac{\frac{21 \sqrt{3}}{50}}{1 - \frac{64}{225}}$$\displaystyle = \frac{27 \sqrt{3}}{46}$