대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도형 3등분 색칠 넓이

문제

아래 그림과 같이 세 변이 모두 평행하고 넓이가 SS인 도형이 있다. 이 도형의 평행한 세 변을 각각 33등분하여 대응하는 점끼리 연결시킨 후, 세 부분으로 나뉘어진 도형의 가운데 부분을 색칠한다. 다시, 색칠이 안 된 도형의 평행한 세 변을 각각 33등분하여 대응하는 점끼리 연결시킨 후, 각각 세 부분으로 나뉘어진 도형의 가운데 부분들을 색칠한다.

위와 같은 과정을 계속할 때, 1010번째까지 색칠한 부분의 넓이의 합은 ? [4점]

①S4{1−(13)10}\displaystyle \frac{S}{4} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{10} \right\}②S3{1−(13)10}\displaystyle \frac{S}{3} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{10} \right\}③S2{1−(13)10}\displaystyle \frac{S}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{10} \right\}④S2{1−(23)10}\displaystyle \frac{S}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{10} \right\}⑤S{1−(23)10}\displaystyle S \left\{ 1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{10} \right\}

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⑤

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해설

nn번째 후의 색칠한 부분의 넓이를 Sn\mathrm{S} _{n}이라 두면 S1=13S\displaystyle \mathrm{S} _{1} = \frac{1}{3} \mathrm{S} S2=13S+2×13S×13=13S+13S×23=13S×(1+23)\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{S} _{2} & = \frac{1}{3} \mathrm{S} + 2 \times \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \mathrm{S} + \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \left( 1 + \frac{2}{3} \right) \end{aligned} S3=13S+13S×23+4×19S×13=13S+13S×23+13S×(23)2=13S×{1+23+(23)2}\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{S} _{3} & = \frac{1}{3} \mathrm{S} + \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \frac{2}{3} + 4 \times \frac{1}{9} \mathrm{S} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \mathrm{S} + \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \\ & = \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \left\{ 1 + \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \right\} \end{aligned} ⋯\cdots S10=13S×{1+23+(23)2⋯+(23)9}\displaystyle \mathrm{S} _{10} = \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \left\{ 1 + \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \cdots + \left( \frac{2}{3} \right) ^{9} \right\} =13S×{1−(23)101−23}=S×{1−(23)10}\displaystyle = \frac{1}{3} \mathrm{S} \times \left\{ \frac{1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{10}}{1 - \frac{2}{3}} \right\} = S \times \left\{ 1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{10} \right\}

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#등비수열의 합#도형 규칙

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