미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도함수 조건 최댓값

문제

다음 조건을 만족시키는 미분가능한 모든 함수 f(x)f ( x )에 대하여 f(2e)f ( 2 e )의 최댓값은? (단, aa는 상수이다.) [4점] (가) 도함수 f′(x)f' ( x )가 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) 0<x≤e0 < x \leq e일 때, f(x)=axln⁡xf ( x ) = ax \ln x이다 (다) ee이상의 임의의 서로 다른 두 실수 x1,x2x _{1} , x _{2}에 대하여 f(x2)−f(x1)x2−x1≤4\displaystyle \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} \leq 4이다

①2e2 e②4e4 e③6e6 e④8e8 e⑤10e10 e

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③

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해설

[출제의도] 이해능력-미분법 0<x<e0 < x < e에서 f′(x)=a(ln⁡x+1)f' ( x ) = a ( \ln x + 1 )이고 함수 f′(x)f' ( x )는 연속이므로 f′(e)=a(ln⁡e+1)=2af' ( e ) = a ( \ln e + 1 ) = 2 a e≤x1<x2e \leq x _{1} < x _{2}라 하면 평균값의 정리에 의하여 f(x2)−f(x1)x2−x1=f′(c)\displaystyle \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = f' ( c )를 만족시키는 cc가 (x1,x2)( x _{1} , x _{2} )에 적어도 하나 존재한다. 즉, f′(c)≤4f' ( c ) \leq 4 x1,x2x _{1} , x _{2}가 임의의 서로 다른 두 실수이므로 x>ex > e에서 f′(x)≤4f' ( x ) \leq 4이다. 조건 (가)에 의하여 2a≤42 a \leq 4이므로 a≤2a \leq 2 즉, f(e)=ae≤2ef ( e ) = ae \leq 2 e x≥ex \geq e일 때, f′(x)≤4f' ( x ) \leq 4이므로 f(x)≤4(x−e)+2ef ( x ) \leq 4 ( x - e ) + 2 e 따라서 f(2e)≤4(2e−e)+2e=6ef ( 2 e ) \leq 4 ( 2 e - e ) + 2 e = 6 e이므로 f(2e)f ( 2 e )의 최댓값은 6e6 e이다.

태그

#평균값 정리#로그함수 미분

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