도함수 조건 보기

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-미분법 조건 (가)에서 함수 $f ( x )$의 그래프는 항상 원점을 지나고 원점에 대하여 대칭이고, 조건 (다)에서 함수 $f ( x )$는 $x \ne \pm 1$인 모든 실수 $x$에서 연속이고 미분가능하다. ㄱ. (참) $f ( 1 ) = 1$이면 함수 $f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$는 항상 $( - 1 , - 1 )$, $( 0 , 0 )$, $( 1 , 1 )$에서 만난다.

따라서 방정식 $f ( x ) = x$는 적어도 3개의 실근을 갖는다. ㄴ. (참) $f ( 1 ) = - 1$이면 함수 $f ( x )$가 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 연속이고, 열린 구간 $( 0 , 1 )$에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의해 $\displaystyle f' ( \alpha ) = \frac{f ( 1 ) - 0}{1 - 0} = - 1$인 실수 $\alpha$가 열린 구간 $( 0 , 1 )$에 적어도 하나 존재한다. 그런데 함수 $f ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 $f' ( - \alpha ) = - 1$인 실수 $- \alpha$가 열린 구간 $( - 1 , 0 )$에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 $f' ( x ) = - 1$은 적어도 2개의 실근을 갖는다. ㄷ. (거짓) (반례) $\left| x \right| < 1$에서 $f ( x ) = - x$이고, $x \geq 1$에서 $f ( x ) = 2 x - 1$, $x \leq - 1$에서 $f ( x ) = 2 x + 1$이면 주어진 조건을 만족시키지만 $f' ( x ) = 1$인 실수 $x$는 존재하지 않는다. 따라서 옳은 것은 ㄱ. ㄴ 이다.