도함수 관계 다항식

$f' ( x ) = g ( x )$, $g' ( x ) = h ( x )$ $f ( x ) + h ( x ) = 2 g ( x ) + x ^{4} + 1$에서 좌변 $f ( x ) + h ( x )$의 최고차항은 $f ( x )$의 최고차항과 같고 $g ( x )$의 차수는 $f ( x )$보다 작으므로 우변 $2 g ( x ) + x ^{4} + 1$의 최고차항은 $x ^{4}$이다. 따라서 $f ( x )$는 최고차항이 $x ^{4}$인 사차함수이다. $f ( x )$$= x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$라 하면 $g ( x ) = f' ( x )$$= 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx + c$ $h ( x ) = g' ( x )$$= 12 x ^{2} + 6 ax + 2 b$ 이고 $f ( x ) + h ( x )$$= x ^{4} + ax ^{3} + ( b + 12 ) x ^{2} + ( 6 a + c ) x + 2 b + d$ ⋯⋯ ㉠ $2 g ( x ) + x ^{4} + 1$$= x ^{4} + 8 x ^{3} + 6 ax ^{2} + 4 bx + 2 c + 1$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡의 계수를 비교하면 $a = 8$, $b + 12 = 6 a$, $6 a + c = 4 b$, $2 b + d = 2 c + 1$ ∴ $a = 8$, $b = 36$, $c = 96$, $d = 121$ ∴ $f ( - 1 )$$= 1 - a + b - c + d$$= 1 - 8 + 36 - 96 + 121$$= 54$