미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

도함수 그래프 오목볼록

문제

이계도함수를 갖는 함수 f(x)f ( x )의 도함수 y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프가 그림과 같고, f′(α)=0f' ( \alpha ) = 0, f′(−x)=f′(x)f' ( - x ) = f' ( x )이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, xx축은 y=f′(x)y = f' ( x )의 점근선이다.) [3점]

<보 기>
ㄱ. f(α)f ( \alpha )는 함수 f(x)f ( x )의 극댓값이다. ㄴ. 방정식 f(x)=0f ( x ) = 0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 양수 β\beta에 대하여 f′′(β)=0f'' ( \beta ) = 0이면 0<x<β0 < x < \beta에서 f(x)f ( x )는 위로 볼록이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형을 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. f′(α)=0f' ( \alpha ) = 0이고 f(x)f ( x )가 x=αx = \alpha를 기준으로 증가하다가 감소하므로 f(α)f ( \alpha )는 극댓값이다. (참) ㄴ. (반례) f(0)=0f ( 0 ) = 0일 때는 홀수 개의 실근을 갖는다. (거짓) ㄷ. 0<x<β0 < x < \beta이면 f′′(x)<0f'' ( x ) < 0이므로 f(x)f ( x )는 위로 볼록이다. (참)

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