미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도함수 그래프 해석

문제

아래 그림은 55차 다항함수 f(x)f ( x )의 도함수 f′(x)f' ( x )의 그래프이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단,f′(4)=0f' ( 4 ) = 0이고 f′′(1)=f′′(4)=f′′(6)=0f'' ( 1 ) = f'' ( 4 ) = f'' ( 6 ) = 0이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. f(x)f ( x )는 서로 다른 세 점에서 극값을 갖는다. ㄴ. 4<x1<x2<64 < x _{1} < x _{2} < 6인 x1,x2x _{1} , x _{2}에 대하여 f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2\displaystyle f \left( \frac{x _{1} + x _{2}}{2} \right) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}이다. ㄷ. f(0)=0f ( 0 ) = 0일 때, 양의 실수 aa에 대하여 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 y=ay = a의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나면 f(x)f ( x )의 극대값은 aa이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프가 xx축과 만나는 점의 xx좌표를 각각 α,1,β\alpha , 1 , \beta라 놓으면 ㄱ. x=αx = \alpha에서 극소, x=βx = \beta에서 극대이지만 x=1x = 1에서는 극대 또는 극소는 아니다. (거짓) ㄴ. 4<x<64 < x < 6에서 f′′(x)>0f'' ( x ) > 0이므로 y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 아래로 볼록하다. 따라서 f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2\displaystyle f \left( \frac{x _{1} + x _{2}}{2} \right) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} (참) ㄷ. y=f(x)y = f ( x )의 그래프의 개형은 그림과 같다. y=f(x)y = f ( x )와 직선y=ay = a가 서로 다른 두 점에서 만나면 f(x)f ( x )의 극대값은 aa이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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#도함수 그래프#오목과 볼록#보기문제

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