미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도함수 그래프 보기 판단

문제

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $y = f \left( x \right)$ 의 도함수 $y = f' \left( x \right)$ 의 그래프가 그림과 같다.

$y = f' \left( x \right)$ $f' \left( \alpha \right)$ $\alpha$

양수 $\alpha$ 에 대하여 $f' \left( \alpha \right) > - 2$ 이고 $f \left( 0 \right) = 0$ 이다. 함수 $h \left( x \right)$ 를 $h \left( x \right) = f \left( x \right) + 2 x$ 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 함수 $f' \left( x \right)$ 는 $x = \alpha$ 에서 극소이다.) [4점]

		보 기



ㄱ. $h' \left( \alpha \right) > 0$ ㄴ. 함수 $y = h \left( x \right)$ 는 열린 구간 $\left( 0 , \alpha \right)$ 에서 감소한다. ㄷ. 방정식 $h \left( x \right) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 ㄱ. $h' \left( x \right) = f' \left( x \right) + 2$ $h' \left( \alpha \right) = f' \left( \alpha \right) + 2 > 0$ $\therefore$ (참) ㄴ. 구간 $\left( 0 , \alpha \right)$ 에서 $- 2 < f' \left( x \right) < 0$ $0 < h' \left( x \right) < 2$ 이므로 함수 $h ( x )$ 는 증가한다. $\therefore$ (거짓) ㄷ. $h \left( 0 \right) = f \left( 0 \right) + 2 \times 0 = 0$ $h' \left( x \right) = f' \left( x \right) + 2 = 0$ 을 만족시키는 $x$ 의 값을 $\beta$ 라 하자. 함수 $h ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$h' \left( x \right)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$h \left( x \right)$	$\searrow$	극소	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$

함수 $y = h \left( x \right)$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\beta$ $h \left( \beta \right)$ $y = h \left( x \right)$

방정식 $h \left( x \right) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. $\therefore$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

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