미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

그림과 같이 두 곡선 y=f′(x),y=g′(x)y = f' ( x ) , y = g' ( x )는 xx 좌표가 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma 인 점에서 만나고 h(x)=f(x)−g(x)h ( x ) = f ( x ) - g ( x )의 최소값이 음수일 때, y=h(x)y = h ( x )에 대하여 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. h(α)=h(γ)<h(β)h ( \alpha ) = h ( \gamma ) < h ( \beta ) ㄴ. (β−α){h(γ)−h(β)}<(γ−β){h(β)−h(α)}( \beta - \alpha ) \left\{ h ( \gamma ) - h ( \beta ) \right\} < ( \gamma - \beta ) \left\{ h ( \beta ) - h ( \alpha ) \right\} ㄷ. h(x)=0h ( x ) = 0은 적어도 서로 다른 두 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

h(x)=f(x)−g(x)h ( x ) = f ( x ) - g ( x )에서 h′(x)=f′(x)−g′(x)h' ( x ) = f' ( x ) - g' ( x ) h′(x)=0h' ( x ) = 0의 세 실근이 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma이므로 h′(α)=h′(β)=h′(γ)=0h' ( \alpha ) = h' ( \beta ) = h' ( \gamma ) = 0 x=α,γx = \alpha , \gamma에서 극소값, x=βx = \beta에서 극대값 최소값이 음수를 만족하는 그래프의 개형으로 다음과 같은 경우를 생각하면

ㄱ. (거짓) ㄴ. h(γ)−h(β)γ−β<h(β)−h(α)β−α\displaystyle \frac{h ( \gamma ) - h ( \beta )}{\gamma - \beta} < \frac{h ( \beta ) - h ( \alpha )}{\beta - \alpha} (참) ㄷ. (참)

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