등차수열의 합

[출제의도] 등차수열 이해하기 $S _{k + 10} = S _{k} + \left( a _{k + 1} + a _{k + 2} + \cdots + a _{k + 10} \right)$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 $2$이므로 $640$$= S _{k} + \left\{ ( a _{k} + 2 ) + \left( a _{k} + 4 \right) + \cdots + \left( a _{k} + 20 \right) \right\}$$\displaystyle = S _{k} + \left\{ 10 \times 31 + \frac{10 \times \left( 2 + 20 \right)}{2} \right\}$ $S _{k} = 640 - \left( 310 + 110 \right)$ 따라서 $S _{k} = 220$ [다른 풀이] 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$라 하면 $a _{k} = a + \left( k - 1 \right) \times 2 = 31$ $\displaystyle S _{k + 10} = \frac{\left( k + 10 \right) \left\{ 2 a + \left( k + 9 \right) \times 2 \right\}}{2} = 640$ 위 두 식을 연립하면 $k ^{2} - 32 k + 220 = 0$ $\left( k - 10 \right) \left( k - 22 \right) \mathit{=} 0$, $k = 10$ 또는 $k = 22$ $k = 10$일 때, $a = 13$ $k = 22$일 때, $a = \mathit{-} 11$ $a > 0$이므로 $k = 10$, $a = 13$ 따라서 $\displaystyle S _{k} = S _{10} = \frac{10 \left( 2 \times 13 + 9 \times 2 \right)}{2} \mathit{=} 220$