등차수열의 극한 조건

$a _{n + 1} - a _{n} = a _{1} + 2$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 공차가 $\left( a _{1} + 2 \right)$인 등차수열이다. $a _{n} = a _{1} + \left( n - 1 \right) \times \left( a _{1} + 2 \right) = \left( a _{1} + 2 \right) n - 2$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 a _{n} + n}{a _{n} - n + 1}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( 2 a _{1} + 5 \right) n - 4}{\left( a _{1} + 1 \right) n - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 a _{1} + 5 - \frac{4}{n}}{a _{1} + 1 - \frac{1}{n}} = \frac{2 a _{1} + 5}{a _{1} + 1} = 3$ 이므로 $a _{1} = 2$ $a _{10} = \left( 2 + 2 \right) \times 10 - 2 = 38$