미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열의 극한

문제

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞a2n−6nan+5=4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n} - 6 n}{a _{n} + 5}} = 4 일 때, a2−a1a _{2} - a _{1}의 값은? [3점] ①−1- 1②−2- 2③−3- 3④−4- 4⑤−5- 5

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 이해하여 등차수열의 공차를 구한다. 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차를 dd라 하면 ana _{n}=a1+(n−1)d= a _{1} + \left( n - 1 \right) d lim⁡n→∞a2n−6nan+5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n} - 6 n}{a _{n} + 5}}=lim⁡n→∞a1+(2n−1)d−6na1+(n−1)d+5\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{1} + \left( 2 n - 1 \right) d - 6 n}{a _{1} + \left( n - 1 \right) d + 5}} =lim⁡n→∞(2d−6)n+a1−ddn+a1−d+5\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 2 d - 6 \right) n + a _{1} - d}{dn + a _{1} - d + 5}} =lim⁡n→∞2d−6+a1−dnd+a1−d+5n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 d - 6 + \frac{a _{1} - d}{n}}{d + \frac{a _{1} - d + 5}{n}}} =2d−6d\displaystyle = \frac{2 d - 6}{d} 2d−6d=4\displaystyle \frac{2 d - 6}{d} = 4에서 d=−3d = \mathit{-} 3 a2−a1a _{2} - a _{1}=d= d이므로 a2−a1=−3a _{2} - a _{1} = \mathit{-} 3

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