등차수열이 들어간 급수

[출제의도] 급수의 수렴조건을 이해하고 급수의 합을 구할 수 있는가? 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항이 $4$이므로 공차를 $d$라 하면 $a _{n} = 4 + \left( n - 1 \right) d$ 이때, 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - \frac{3 n + 7}{n + 2} \right)$ 이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n}}{n} - \frac{3 n + 7}{n + 2} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{4 + \left( n - 1 \right) d}{n} - \frac{3 n + 7}{n + 2} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{d + \frac{4 - d}{n}}{1} - \frac{3 + \frac{7}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \right)}$$= d - 3$$= 0$ 그러므로 $d = 3$ 이떄, $a _{n} = 3 n + 1$이므로 주어진 급수에 대입하면 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - \frac{3 n + 7}{n + 2} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3 n + 1}{n} - \frac{3 n + 7}{n + 2} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3 n + 1}{n} - \frac{3 n + 7}{n + 2} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ \left( 3 + \frac{1}{n} \right) - \left( 3 + \frac{1}{n + 2} \right) \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots \right.}$ $\displaystyle + \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right)}$ $\displaystyle = \frac{3}{2}$