미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열 무리식 극한

문제

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞(an2+2n−an)=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{a _{n} ^{2} + 2 n} - a _{n} \right) = \frac{1}{3}일 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차는? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차를 dd라 하자. an=a1+(n−1)da _{n} = a _{1} + \left( n - 1 \right) d에서 lim⁡n→∞ann=lim⁡n→∞a1+(n−1)dn=d\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{1} + \left( n - 1 \right) d}{n} = d lim⁡n→∞(an2+2n−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{a _{n} ^{2} + 2 n} - a _{n} \right) =lim⁡n→∞2nan2+2n+an=lim⁡n→∞2(ann)2+2n+ann=13\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n}{\sqrt{a _{n} ^{2} + 2 n} + a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{\left( \frac{a _{n}}{n} \right) ^{2} + \frac{2}{n}} + \frac{a _{n}}{n}} = \frac{1}{3} 이므로 d>0d > 0 즉, lim⁡n→∞(an2+2n−an)=1d=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{a _{n} ^{2} + 2 n} - a _{n} \right) = \frac{1}{d} = \frac{1}{3}이므로 d=3d = 3

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#무리식의 극한#등차수열

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