미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열 합의 역수 급수

문제

an=∑k=1nck\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} c k 일 때, ∑n=1∞1an=12\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{2}을 만족하는 상수 cc의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

an=∑k=1∞ck=c∑k=1∞=c⋅12n(n+1)\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{\infty} ck = c \sum\limits _{k=1} ^{\infty} = c \cdot \frac{1}{2} n ( n + 1 ) 따라서 ∑n=1∞1an=2c∑n=1∞1n(n+1)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{c} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n ( n + 1 )} =2clim⁡n→∞∑k=1∞(1k−1k+1)\displaystyle = \frac{2}{c} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) =2clim⁡n→∞{(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)}\displaystyle = \frac{2}{c} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \right\} =2clim⁡n→∞(1−1n+1)\displaystyle = \frac{2}{c} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)=2c\displaystyle = \frac{2}{c}

태그

#부분분수#망원급수

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