등차수열 합의 합

$S _{n}$이 등차수열의 합이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $S _{n} = pn ^{2} + qn$ ($p$, $q$는 상수) 라 하면 $a _{n} = 2 pn - p + q$ 모든 항이 자연수이므로 $2 p$는 음이 아닌 정수이다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{7} \left( pn ^{2} + qn \right)$ $\displaystyle = p \times \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} + q \times \frac{7 \cdot 8}{2}$ $= 140 p + 28 q = 644$ $\therefore$ $5 p + q = 23$ $S _{1} = a _{1} = p + q = - 4 p + 23 \geq 1$에서 $\displaystyle p \leq \frac{11}{2}$ $a _{7} = S _{7} - S _{6} = 13 p + q = 8 p + 23$에서 $a _{7} = 8 p + 23 \leq 67$ $a _{7}$이 $13$의 배수이므로 가능한 수는 $13$, $26$, $39$, $52$, $65$이다. 이 중에서 $2 p$가 정수인 경우는 $a _{7} = 8 p + 23 = 39$ 일 때이다. 따라서 $p = 2$이고, $a _{2} = 3 p + q = - 2 p + 23 = 19$이다.