대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열 합의 비

문제

첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S _{n}$ 이라 할 때, $S _{n} = ka _{n}$ 을 만족하는 $k$ 가 두 자리 자연수가 되게 하는 $n$ 의 최댓값은? (단, $a _{1} \ne 0$ ) [3점] ① $191$ ② $193$ ③ $195$ ④ $197$ ⑤ $199$

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④

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해설

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항과 공차를 $a _{1} ( a _{1} \ne 0 )$ 라 하면 $S _{n} = k a _{n}$ 에서 $\displaystyle \frac{n \left\{ 2 a _{1} + ( n - 1 ) a _{1} \right\}}{2} = k \left\{ a _{1} + ( n - 1 ) a _{1} \right\}$ $\displaystyle \frac{na _{1} ( n + 1 )}{2} = k n a _{1}$ 양변을 $na _{1}$ 으로 나누면 $\displaystyle k = \frac{n + 1}{2}$ 두 자리 자연수 $k$ 가 최댓값 $99$ 일 때, $n$ 은 최댓값 $197$ 을 갖는다. $\therefore 197$

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