등차수열 합 극한

[출제의도] 극한의 성질을 이해하여 등차수열의 일반항과 합으로 이루어진 극한값을 구한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $a _{1}$$= 2$, $d$$= 3$인 등차수열이므로 $a _{n}$$= 3 n - 1$, $a _{n + 1}$$= 3 n + 2$ 첫째항부터 제$n$항까지 합 $S _{n}$은 $S _{n}$$\displaystyle = \frac{n \left( 2 + 3 n - 1 \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{3 n ^{2} + n}{2}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{a _{n} a _{n + 1}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{3 n ^{2} + n}{2}}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 + \frac{1}{n}}{18 + \frac{6}{n} - \frac{4}{n ^{2}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{6}$